經典演算法題每日演練——第十六題 Kruskal 演算法

這篇我們看看第二種生成樹的 Kruskal 演算法，這個演算法的魅力在於我們可以打一下演算法和資料結構的組合拳，很有意思的。
一：思想
若存在 M={0,1,2,3,4,5} 這樣 6 個節點，我們知道 Prim 演算法構建生成樹是從” 頂點” 這個角度來思考的，然後採用 “貪心思想”
來一步步擴大化，最後形成整體最優解，而 Kruskal 演算法有點意思，它是站在” 邊 “這個角度在思考的，首先我有兩個集合。
1. 頂點集合 (vertexs)：
比如 M 集合中的每個元素都可以認為是一個獨根樹（是不是想到了並查集？）。
2. 邊集合 (edges)：
對圖中的每條邊按照權值大小進行排序。（是不是想到了優先佇列？）
好了，下面該如何操作呢？
首先：我們從 edges 中選出權值最小的一條邊來作為生成樹的一條邊，然後將該邊的兩個頂點合併為一個新的樹。
然後：我們繼續從 edges 中選出次小的邊作為生成樹的第二條邊，但是前提就是邊的兩個頂點一定是屬於兩個集合中，如果不是
則剔除該邊繼續選下一條次小邊。
最後：經過反覆操作，當我們發現 n 個頂點的圖中生成樹已經有 n-1 邊的時候，此時生成樹構建完畢。

從圖中我們還是很清楚的看到 Kruskal 演算法構建生成樹的詳細過程，同時我們也看到了” 並查集 “和 “優先佇列 “這兩個神器
來加速我們的生成樹構建。
 
二：構建
1.Build 方法
這裏我灌的是一些測試資料，同時在矩陣構建完畢後，將頂點資訊放入並查集，同時將邊的資訊放入優先佇列，方便我們在
做生成樹的時候秒殺。

1 #region 矩陣的構建
2 ///

3 /// 矩陣的構建
4 ///

5 public void Build()
6 {
7 //頂點數
8 graph.vertexsNum = 6;
9
10 //邊數
11 graph.edgesNum = 8;
12
13 graph.vertexs = new int[graph.vertexsNum];
14
15 graph.edges = new int[graph.vertexsNum, graph.vertexsNum];
16
17 //構建二維陣列
18 for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++) 19 { 20 //頂點 21 graph.vertexs[i] = i; 22 23 for (int j = 0; j < graph.vertexsNum; j++) 24 { 25 graph.edges[i, j] = int.MaxValue; 26 } 27 } 28 29 graph.edges[0, 1] = graph.edges[1, 0] = 80; 30 graph.edges[0, 3] = graph.edges[3, 0] = 100; 31 graph.edges[0, 5] = graph.edges[5, 0] = 20; 32 graph.edges[1, 2] = graph.edges[2, 1] = 90; 33 graph.edges[2, 5] = graph.edges[5, 2] = 70; 34 graph.edges[4, 5] = graph.edges[5, 4] = 40; 35 graph.edges[3, 4] = graph.edges[4, 3] = 60; 36 graph.edges[2, 3] = graph.edges[3, 2] = 10; 37 38 //優先佇列，存放樹中的邊 39 queue = new PriorityQueue();
40
41 //並查集
42 set = new DisjointSet(graph.vertexs);
43
44 //將對角線讀入到優先佇列
45 for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++) 46 { 47 for (int j = i; j < graph.vertexsNum; j++) 48 { 49 //説明該邊有權重 50 if (graph.edges[i, j] != int.MaxValue) 51 { 52 queue.Eequeue(new Edge() 53 { 54 startEdge = i, 55 endEdge = j, 56 weight = graph.edges[i, j] 57 }, graph.edges[i, j]); 58 } 59 } 60 } 61 } 62 #endregion   2：Kruskal 演算法 並查集，優先佇列都有資料了，下面我們只要出隊操作就行了，如果邊的頂點不在一個集合中，我們將其收集作為最小生成樹的一條邊， 按著這樣的方式，最終生成樹構建完畢，怎麼樣，組合拳打的爽不爽？ 1 #region Kruskal 演算法 2 ///

3 /// Kruskal 演算法
4 ///

5 public List Kruskal()
6 {
7 //最後收集到的最小生成樹的邊
8 List list = new List();
9
10 //迴圈佇列
11 while (queue.Count() > 0)
12 {
13 var edge = queue.Dequeue();
14
15 //如果該兩點是同一個集合，則剔除該集合
16 if (set.IsSameSet(edge.t.startEdge, edge.t.endEdge))
17 continue;
18
19 list.Add(edge.t);
20
21 //然後將 startEdge 和 endEdge Union 起來，表示一個集合
22 set.Union(edge.t.startEdge, edge.t.endEdge);
23
24 //如果 n 個節點有 n-1 邊的時候，此時生成樹已經構建完畢，提前退出
25 if (list.Count == graph.vertexsNum – 1)
26 break;
27 }
28
29 return list;
30 }
31 #endregion

最後是總的程式碼：
View Code
並查集：

View Code

1 using System;
2 using System.Collections.Generic;
3 using System.Linq;
4 using System.Text;
5
6 namespace ConsoleApplication2
7 {
8 ///

9 /// 並查集
10 ///

11 public class DisjointSet where T : IComparable
12 {
13 #region 樹節點
14 ///

15 /// 樹節點
16 ///

17 public class Node
18 {
19 ///

20 /// 父節點
21 ///

22 public T parent;
23
24 ///

25 /// 節點的秩
26 ///

27 public int rank;
28 }
29 #endregion
30
31 Dictionary dic = new Dictionary();
32
33 public DisjointSet(T[] c)
34 {
35 Init(c);
36 }
37
38 #region 做單一集合的初始化操作
39 ///

40 /// 做單一集合的初始化操作
41 ///

42 public void Init(T[] c)
43 {
44 //預設的不想交集合的父節點指向自己
45 for (int i = 0; i < c.Length; i++) 46 { 47 dic.Add(c[i], new Node() 48 { 49 parent = c[i], 50 rank = 0 51 }); 52 } 53 } 54 #endregion 55 56 #region 判斷兩元素是否屬於同一個集合 57 ///

58 /// 判斷兩元素是否屬於同一個集合
59 ///

60 /// 61 /// 62 ///
63 public bool IsSameSet(T root1, T root2)
64 {
65 return Find(root1).CompareTo(Find(root2)) == 0;
66 }
67 #endregion
68
69 #region 查詢 x 所屬的集合
70 ///

71 /// 查詢 x 所屬的集合
72 ///

73 /// 74 ///
75 public T Find(T x)
76 {
77 //如果相等，則説明已經到根節點了，返回根節點元素
78 if (dic[x].parent.CompareTo(x) == 0)
79 return x;
80
81 //路徑壓縮 (回溯的時候賦值，最終的值就是上面返回的”x”，也就是一條路徑上全部被修改了)
82 return dic[x].parent = Find(dic[x].parent);
83 }
84 #endregion
85
86 #region 合併兩個不相交集合
87 ///

88 /// 合併兩個不相交集合
89 ///

90 /// 91 /// 92 ///
93 public void Union(T root1, T root2)
94 {
95 T x1 = Find(root1);
96 T y1 = Find(root2);
97
98 //如果根節點相同則説明是同一個集合
99 if (x1.CompareTo(y1) == 0)
100 return;
101
102 //説明左集合的深度 < 右集合 103 if (dic[x1].rank < dic[y1].rank) 104 { 105 //將左集合指向右集合 106 dic[x1].parent = y1; 107 } 108 else 109 { 110 //如果 秩 相等，則將 y1 併入到 x1 中，並將 x1++ 111 if (dic[x1].rank == dic[y1].rank) 112 dic[x1].rank++; 113 114 dic[y1].parent = x1; 115 } 116 } 117 #endregion 118 } 119 } 優先佇列： View Code 1 using System; 2 using System.Collections.Generic; 3 using System.Linq; 4 using System.Text; 5 using System.Diagnostics; 6 using System.Threading; 7 using System.IO; 8 9 namespace ConsoleApplication2 10 { 11 public class PriorityQueue where T : class
12 {
13 ///

14 /// 定義一個陣列來存放節點
15 ///

16 private List nodeList = new List();
17
18 #region 堆節點定義
19 ///

20 /// 堆節點定義
21 ///

22 public class HeapNode
23 {
24 ///

25 /// 實體資料
26 ///

27 public T t { get; set; }
28
29 ///

30 /// 優先順序別 1-10 個級別 (優先順序別遞增)
31 ///

32 public int level { get; set; }
33
34 public HeapNode(T t, int level)
35 {
36 this.t = t;
37 this.level = level;
38 }
39
40 public HeapNode() { }
41 }
42 #endregion
43
44 #region 新增操作
45 ///

46 /// 新增操作
47 ///

48 public void Eequeue(T t, int level = 1)
49 {
50 //將當前節點追加到堆尾
51 nodeList.Add(new HeapNode(t, level));
52
53 //如果只有一個節點，則不需要進行篩操作
54 if (nodeList.Count == 1)
55 return;
56
57 //獲取最後一個非葉子節點
58 int parent = nodeList.Count / 2 – 1;
59
60 //堆調整
61 UpHeapAdjust(nodeList, parent);
62 }
63 #endregion
64
65 #region 對堆進行上濾操作，使得滿足堆性質
66 ///

67 /// 對堆進行上濾操作，使得滿足堆性質
68 ///

69 /// 70 /// 非葉子節點的之後指標（這裏要注意：我們
71 /// 的篩操作時針對非葉節點的）
72 /// 73 public void UpHeapAdjust(List nodeList, int parent)
74 {
75 while (parent >= 0)
76 {
77 //當前 index 節點的左孩子
78 var left = 2 * parent + 1;
79
80 //當前 index 節點的右孩子
81 var right = left + 1;
82
83 //parent 子節點中最大的孩子節點，方便於 parent 進行比較
84 //預設為 left 節點
85 var min = left;
86
87 //判斷當前節點是否有右孩子
88 if (right < nodeList.Count) 89 { 90 //判斷 parent 要比較的最大子節點 91 min = nodeList[left].level < nodeList[right].level ? left : right; 92 } 93 94 //如果parent節點大於它的某個子節點的話，此時篩操作 95 if (nodeList[parent].level > nodeList[min].level)
96 {
97 //子節點和父節點進行交換操作
98 var temp = nodeList[parent];
99 nodeList[parent] = nodeList[min];
100 nodeList[min] = temp;
101
102 //繼續進行更上一層的過濾
103 parent = (int)Math.Ceiling(parent / 2d) – 1;
104 }
105 else
106 {
107 break;
108 }
109 }
110 }
111 #endregion
112
113 #region 優先佇列的出隊操作
114 ///

115 /// 優先佇列的出隊操作
116 ///

117 ///
118 public HeapNode Dequeue()
119 {
120 if (nodeList.Count == 0)
121 return null;
122
123 //出佇列操作，彈出資料頭元素
124 var pop = nodeList[0];
125
126 //用尾元素填充頭元素
127 nodeList[0] = nodeList[nodeList.Count – 1];
128
129 //刪除尾節點
130 nodeList.RemoveAt(nodeList.Count – 1);
131
132 //然後從根節點下濾堆
133 DownHeapAdjust(nodeList, 0);
134
135 return pop;
136 }
137 #endregion
138
139 #region 對堆進行下濾操作，使得滿足堆性質
140 ///

141 /// 對堆進行下濾操作，使得滿足堆性質
142 ///

143 /// 144 /// 非葉子節點的之後指標（這裏要注意：我們
145 /// 的篩操作時針對非葉節點的）
146 /// 147 public void DownHeapAdjust(List nodeList, int parent)
148 {
149 while (2 * parent + 1 < nodeList.Count) 150 { 151 //當前 index 節點的左孩子 152 var left = 2 * parent + 1; 153 154 //當前 index 節點的右孩子 155 var right = left + 1; 156 157 //parent 子節點中最大的孩子節點，方便於 parent 進行比較 158 //預設為 left 節點 159 var min = left; 160 161 //判斷當前節點是否有右孩子 162 if (right < nodeList.Count) 163 { 164 //判斷 parent 要比較的最大子節點 165 min = nodeList[left].level < nodeList[right].level ? left : right; 166 } 167 168 //如果parent節點小於它的某個子節點的話，此時篩操作 169 if (nodeList[parent].level > nodeList[min].level)
170 {
171 //子節點和父節點進行交換操作
172 var temp = nodeList[parent];
173 nodeList[parent] = nodeList[min];
174 nodeList[min] = temp;
175
176 //繼續進行更下一層的過濾
177 parent = min;
178 }
179 else
180 {
181 break;
182 }
183 }
184 }
185 #endregion
186
187 #region 獲取元素並下降到指定的 level 級別
188 ///

189 /// 獲取元素並下降到指定的 level 級別
190 ///

191 ///
192 public HeapNode GetAndDownPriority(int level)
193 {
194 if (nodeList.Count == 0)
195 return null;
196
197 //獲取頭元素
198 var pop = nodeList[0];
199
200 //設定指定優先順序（如果為 MinValue 則為 — 操作）
201 nodeList[0].level = level == int.MinValue ? –nodeList[0].level : level;
202
203 //下濾堆
204 DownHeapAdjust(nodeList, 0);
205
206 return nodeList[0];
207 }
208 #endregion
209
210 #region 獲取元素並下降優先順序
211 ///

212 /// 獲取元素並下降優先順序
213 ///

214 ///
215 public HeapNode GetAndDownPriority()
216 {
217 //下降一個優先順序
218 return GetAndDownPriority(int.MinValue);
219 }
220 #endregion
221
222 #region 返回當前優先佇列中的元素個數
223 ///

224 /// 返回當前優先佇列中的元素個數
225 ///

226 ///
227 public int Count()
228 {
229 return nodeList.Count;
230 }
231 #endregion
232 }
233 }

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